Дополнение 3. Аспекты эпигностики

К п. 5-15. Эпигностика, под именем «интегративная функция иммунной системы», недавно фактически заявлена группой армянских иммунологов Щавтян Т.К., Геворкян Г.А., Погосян Д.А.

В концепции «естественной (биосферной) иммунизации макроорганизма» Л.А. Пирузяна тоже очевиден эпигностический аспект:

“Иммунная система организма рассматривается как биологический маркер генетически детерминированных метаболических процессов”, когда выявляются “изменения метаболического статуса организма человека и его иммунного статуса под влиянием сапротрофных бактерий” (Пирузян J1.A., Михайловский Е.М. Сапротрофные бактерии как возможное средство управления иммунным статусом организма... // Физиология человека, 2005, № I).

Поясню: по иммунной реакции можно узнать о состоянии обмена веществ. К эпигностике надо отнести и проблемы медицины, связанные с нарушением работы молекулярных рецепторов.

Ho как же зародыш узнаёт, как ему развиваться, какие гены включать? В геометрических терминах - как он узнаёт, куда ему из каждой данной точки расти? Вопрос эпигностический, и у Черданцева есть намек на занимающую нас проблему:

«Если описывать структуризацию с помощью дифференциальных уравнений, то ее математический “механизм” совершенно ясен... Система должна быть далека от термодинамического равновесия, в... уравнении должен быть автокатализ “активатора”, активатор должен производить свой собственный ингибитор, который должен диффундировать быстрее, чем активатор. Тогда возможно пространственное расслоение..., то есть возникновение макроскопической доменной структуры [...] То, что последовательность выделения сегментов доменной структуры может описываться гармоническими волновыми функциями, так чтобы внутри каждого сегмента укладывалось конечное число полуволн (Kauffman, 1977; Goodwin, 1994), является одной из самых остроумных идей теоретической эмбриологии...

но представление о “комбинаторном” (на самом деле просто бинарном) коде пространственной дифференцировки (Kauffman, 1977). Очень важным достоинством модели является ее независимость (относительная, конечно) от материальной природы переменных» (Черданцев Я Л Морфогенез и эволюция. М., 2003, с. 181-183).

Если я верно понимаю это место, смысл его в том, что рамки онтогенезу задает сама четырехмерность пространства-времени.

Поясню аналогией: теория квантов (в той форме, какая вытекала из уравнения Шрёдингера) являет собой модификацию теории колебаний: квантовые числа вычислены, в частности, как точки покоя при колебании шарового слоя (собственные точки полиномов Лежандра). Теория Зоммер- фельда хорошо описала спектр излучения водорода, хотя общим в обоих явлениях (спектр излучения и механическое колебание) является только трехмерность пространства. Пусть за сто лет квантовая теория не смогла приемлемо описать химию (не говоря уж о макрофизике), но в науке твердо установилось квантовое мировоззрение, и оно оказалось полезно.

Полагаю, что если элементарный акт морфогенеза будет понят и признан на языке доменов, то родится теория морфогенеза, мало что описывающая всерьез, но пригодная для понимания механизма эволюции по Жоффруа. Точно так же, как термостатика XIX века оказалась полезна для дарвинизма, а новая термодинамика (теория ДС) - для понимания номогенеза и экологического эволюционизма.

Эпигностический элемент этой будущей квази-теории видится в том, что каждый этап морфогенеза будет, вероятно, толковаться как активация гена, компетентного к той структуре, которая в данный момент в данном месте должна быть сформирована (по Любищеву, она существует в потенции) и уже формировалась в прежних онтогенезах, а акт эволюции - как узнавание (или появление) гена, компетентного к новой структуре, дотоле ни разу не формировавшейся.

Дополнение 4. Фрактал как пример рефрена и рождения новизны

К пп. 5-15* и 6-7*. Понятие фрактала ввел в 1975 году математик Бенуа Мандельброт.

На любом отрезке вещественной прямой, независимо от его длины, умещается континуум точек, т.е. часть устроена точно так же, как целое, и так до бесконечности. Это еще не фрактал, ибо всякий отрезок имеет единичную размерность, а фрактал - дробную, но на отрезке легко получить (выбрасывая из него малые отрезки по очень простому закону - например, выбрасывая его среднюю треть, из оставшихся двух - среднюю треть каждого и т.д.) одномерный фрактал. Столь же легко, выбрасывая квадратики

из квадрата, получить двумерный фрактал. Иными словами, даже очень простая функция вещественного числа может быть устроена фрактально. Если такие функции описывают что-то в природе, то мир будет устроен вовсе не так, как рисует его гладкая математика Ньютона - Лейбница. Подробнее см. [Чайковский, 2004, гл. 6].

Поэтому всё, что нелинейно, что содержит компонент самоподобия и притом подчиняется арифметике, должно быть фрактально. А ей в природе подчиняется всё, а в науке, насколько знаю, - всё, кроме разве лишь диалектики (в смысле п. 3-7) и ее следствий - дарвинизма и марксизма.

Рассмотрим простой пример получения плоских фракталов. Пусть задано очень простое преобразование одного числа в другое:

Zn+1 = (.Zn)2 + с,

где переменная z = x + yi и постоянная c = a+ bi комплексны.

На вещественной прямой (т.е. при у = 0, b = 0) это преобразование неинтересно: его свойства сводятся к тому, что точки х„ приближаются к нулю при малых значениях начального X0 и постоянной величины а, при больших значениях этих величин уходят в бесконечность, а в двух пограничных точках остаются на месте. Зато в комплексной области творятся чудеса: поскольку квадрат мнимой единицы есть единица вещественная, то преобразование (1) состоит из сплошных разрывов, а потому Zn ведут себя фрактально и невообразимо сложно. Всё это подробно описано в книге: Пайтген Х.-0., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М., Мир, 1993.

Пограничная область (из которой переменные Zn не уходят ни внутрь, ни в бесконечность) оказывается вовсе не окружностью, как можно ожидать по аналогии с вещественным преобразованием, а замкнутой фрактальной кривой. Наиболее общий случай показан на рис. 84: внутри области расположена единственная неподвижная точка, к которой сходятся все точки Zn, если процесс начат с точки Z0 внутри области, ограниченной фрактальной кривой. Множество J точек на плоскости (х, у), ограниченное этой кривой, называется множеством Жюлиа (в честь учителя Мандельброта).

Если же точка Z0 взята вне множества J, то вне его окажутся и все последующие точки Zn - они с ростом п уйдут в бесконечность.

Рис. 84. Обычное множество Жюлиа на плоскости (х, у) для случая, когда начальная точка Zo процесса (I) взята из глубины центральной полости множества Мандельброта (той полости, что ограничена кардиоидой на рис. 85а и 86). Жирной показана неподвижная точка

(zn = Z0) данного процесса

Каждому значению параметра с - а + bi соответствует свое множество J -J (с), что можно изобразить на плоскости (а, Ь): тут каждому J соответствует своя точка. Эти точки образуют множество Мандельброта M (показано целиком на рис. 85а и его половина крупным планом - на рис. 86); его граница тоже фрактальна.

Можно сказать и иначе: если в уравнении (1) зафиксировать параметр с, то получим ломаную линию от начальной точки Z0 к неподвижной точке. Если изменять Z0, то получится семейство ломаных траекторий, заполняющих свое множество J =J (с) на плоскости (х, у), а если зафиксировать Z0= 0 и изменять с, то получится множество M = M (Z0 = 0) на плоскости (а, Ь).

Множество M имеет ось симметрии b = 0, главную полость, ограниченную кардиоидой (известная кривая 4-го порядка), и бесконечное множество почек. Почка первого порядка - окружность на оси b = 0, три почки второго порядка - окружности поменьше (одна на той же оси и две по бокам кардиоиды) и так до бесконечности; причем в почке л-го порядка каждое J имеет п + 1 неподвижных точек. Кроме почек, у множества M есть дендриты, не имеющие полостей; они видны на рис. 86.

Рис. 85. Несколько представителей семейства «мандельбротовых» множеств а - множество Мандельброта М\ b - f — более сложные множества (описаны в книге Пайтгена и Рихтера). Прошу обратить внимание: множества b и f содержат фигуру, похожую на множество М, однако это другие множества - почки второго порядка в них иные, а главная полость множества f - окружность

а

Рнс. 86. Фрагмент множества Мандельброта с указанием некоторых пограничных множеств Жюлиа

На рис. 86 изображен фрагмент множества M с указанием положения на нем избранных характерных точек (от 1 до 12), причем для каждой показано соответствующее множество Жюлиа. Множество 1 является внутренним, а не пограничным, оно лежит внутри кардиоиды и потому имеет одну точку покоя (как на рис. 84), но оно близко к границе множества M и потому похоже на сложно устроенное пограничное множество 12, расположенное рядом. Множество 3 тоже соответствует внутренней точке, но - точке из кружка второго порядка; поэтому оно имеет три точки покоя.

Двигаясь вдоль границы множества M (плавно изменяя параметры в уравнении (1)), мы непременно будем пересекать почки и дендриты, т.е. ничтожное изменение параметров будет качественно менять получаемые картины множеств J. Иными словами, получена модель эмерджентности.

Наконец, видно геометрическое сходство соседних картин (1 и 12; 2, 3 и , несмотря на их качественное (топологическое) различие - например, различное количество неподвижных точек, наличие или отсутствие полостей. Сходства на разной топологической основе возникают в ходе изменений параметров уравнения, т.е. являются рефренами.

He должен пугать и факт преобразования на комплексной плоскости: напомню, что введение комплексных чисел в математику рассматривалось в XVI и даже в XVII веке как нелепая игра ума, а теперь ими описывают самые что ни на есть вещественные процессы - например, электрический ток в цепях с ёмкостью и индуктивностью.

Хотя данный фрактал и носит чисто математический характер, он нам полезен тем, что наглядно показывает процедуру рождения новизны (новой информации) - она рождается фракталом. Очевидно, что и более сложные фракталообразующие правила биологии тоже должны порождать новизну.

Особенно интересна точка 6. Ее множество Жюлиа само по себе красиво, но если немного сдвинуться от нее (в какую сторону и насколько, в книге Пайтгена и Рихтера не сказано - видимо, секрет фирмы), то попадешь в «долину морских коньков», где множества Жюлиа прямо-таки поражают изысканной красотой. Одно из них показано на рис. 87.

Трудно поверить, но и этот фрактал порожден уравнением (1). Он образован одной-единственной линией бесконечной длины (причем бесконечной на любом сколь угодно малом квадратике) и имеет иррациональную размерность между единицей и двойкой. Если хоть чуть-чуть изменить хотя бы один из четырех его параметров (х0, у0, а, Ь) в уравнении (1), то фрактал либо обретет полость (ненулевую площадь), либо, наоборот, распадется на бесконечное множество отдельных “морских коньков”. Здесь мы тоже видим рефрен: явное сходство форм (“морских коньков”) при различии топологической основы (при нарушении размерности или связности) получено путем преобразования согласно уравнению. Такие фракталы проясняют ту мысль многих учёных, что системность и целесообразность могут носить не функциональный, а чисто эстетический смысл.

Более сложные фракталы обладают более сложными свойствами. Так, Бульенков (п. 7-9) показал, что во фракталах структурированной воды клеток идет «метрический отбор» допустимых органических форм (Бульенков Н.А. И Биофизика, 2005, № 5, п. 4), т.е. вариант богдановского подбора.

Рис. 87. Наиболее эффектное множество Жюлиа из «поля морских коньков»:

А - общий вид

Может показаться странным, что объяснение феномену рефрена дано не биологическое, а математическое. Однако иначе и быть не может: ведь рефрен не является не только собственно биологическим явлением, но и не обязан даже иметь материальную природу - вспомним хотя бы грамматические рефрены. Если же феномен вездесущ, то и носители его должны быть вездесущи, а таковыми прежде всего являются числа. Словом

«Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами, порами, трещинами и отверстиями, извилистых и т.п. объектов... по молчаливому уговору ранее исключавшихся из рассмотрения... Между тем именно такие неправильные объекты составляют подавляющее большинство объектов природы» (Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М., УРСС, 2006, с. 91-92).

В мире этих объектов наблюдаются и могут быть эффективно описаны параллелизм и эмерджентность. Можно надеяться, что математика фракталов ляжет в основу будущей теории эволюции, в том числе биологической.

Б — его фрагмент (это может быть любой “хвост морского конька”); если увеличить часть данного фрагмента, помещенную в рамку, до размеров всего фрагмента, то получится точно такой же рисунок, и так до бесконечности