ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

  Стационарное течение идеальной жидкости вдоль линии тока описывается теоремой Бернулли, названной так по имени швейцарского физика (1700—1782), ставшего профессором математики в возрасте 25 лет. Прежде всего мы должны заметить, что поток в трубе называется стационарным, если скорость в каждой точке трубы остается неизменной, даже если труба где-то сужается или расширяется и соответственно жидкость течет в одних участках быстрее, а в других медленнее.

Теорема Бернулли гласит, что общая энергия жидкости (Е) является суммой 1) потенциальной энергии, связанной с внутренним давлением, 2) потенциальной энергищ связанной с силой тяжести, и 3) кинетической энергии движущихся частиц:
Е = (pv) + (mgh) +              ти2 j.              (1)
В правой части этого уравнения первый член представляет энергию давления жидкости, равную произведению давления (р) на объем (v). Второй член — это гравитационная потенциальная энергия, равная произведению массы (т) на гравитационную постоянную (g) и на высоту (h). Третий член — кинетическая энергия, зависящая от скорости (и) жидкости. Сумма, этих трех величин и есть общая энергия жидкости. Содержание энергии в единице объема (Е') можно найти, разделив обе части уравнения на объем:
^“Р+Р^ + Ру.              (2)
где р •— плотность жидкости.
В случае течения жидкости по горизонтальной трубе уравнение можно существенно упростить. Так как гравитационная потенциальная энергия от одного конца трубы к другому не меняется, соответствующий член остается постоянным, и его можно опустить. Кроме того, поскольку плотность жидкости тоже постоянна, эту константу можно исключить, так что в результате мы получим
Е'сср-\-~2~.              (3)
Если жидкость течет в трубе без трения, удельная энергия жидкости (Е') должна оставаться постоянной, так что при изменениях скорости (и), связанных с изменением диаметра, давление должно изменяться в противоположном направлении, т. е.
Л4=_Д р.              (4)
Теперь рассмотрим трубу постоянного диаметра, в которой есть трение. При постоянном диаметре скорость (и) остается постоянной. Из-за сопротивления течению на продвижение воды через трубу должна затрачиваться энергия, и ее потери должны выражаться в падении давления (р), как это показано на рис. 4.11. Энергия, теряющаяся из-за трения, рассеивается в виде тепла, что проявляется в повышении температуры жидкости, однако в случае потока крови это несущественно.
Если диаметр трубы изменяется, то должна изменяться и скорость течения {и). Если труба горизонтальна, гравитационный
11*
член в уравнении (2) опять-таки можно опустить.

Теперь представим себе на минуту, что энергия не рассеивается в результате трения и ее удельное содержание остается постоянным. Тогда мы увидим, что скорость и давление будут изменяться в противопо-

				I / / / 1               .              /

Рис. 4.11. Когда жидкость течет по горизонтальной трубе, сопротивление приводит к постоянному уменьшению давления по длине трубы.

ложных направлениях, согласно выражению (4), которое означает, что при возрастании скорости давление в жидкости должно падать. Для трубы с трением соответствующие изменения показаны на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Когда жидкость протекает через узкий участок трубы, скорость ее движения возрастает. Увеличение скорости сопровождается снижением давления.


Часто утверждают, что жидкость всегда течет по направлению от большего давления к меньшему. Рис. 4.12 показывает, что это не всегда так, поскольку в более узкой части трубы давление меньше, чем далее вниз по течению. На самом деле жидкость всегда течет от точки, где ее общая энергия больше, к точке, где ее общая энергия меньше.
В предыдущем обсуждении мы игнорировали гравитационный член в уравнении (2). Если мы имеем U-образную трубку вроде изображенной на рис. 4.13, то в покое жидкость в ней будет иметь одну и ту же удельную энергию во всех участках. Хотя давление
в нижней (горизонтальной) части трубки больше, чем в вертикальных частях, жидкость не течет. Обратившись к уравнению (2),. мы увидим, что с уменьшением высоты (h) гравитационная потенциальная энергия на единицу объема (рgh) уменьшается и со-

Рис. 4.13. Жидкость в U-образной трубке остается в покое. В результате во®* действия силы тяжести на жидкость давление в нижней части трубки выше, чем в вертикальных участках.


ответственно должна возрастать энергия давления (р). Мы связываем это увеличение энергии давления с гидростатическим давлением жидкости, понимая под этим выражением увеличение давления с глубиной по отношению к давлению на поверхности.

Еще по теме ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ:

1. Теорема Нернста
2. Два истока биофизики
3. Изменчивость в природных популяциях; ее значение для адаптации
4. Уравнение Харди—Вайнберга
5. 13. Эволюция как преобразование разнообразия
6. Портал "ПЛАНЕТА ЖИВОТНЫХ". Кто ты, собака?, 2010
7. Любопытное доказательство того, что собаки очень давно одомашнены, приводит советский ученый-языковед академик Н. Я. Марр...
8. Антропологи изучают кости и скелеты людей очень далекого прошлого, изучают их близких и отдаленных родственников — ископаемых и современных обезьян,— чтоб восстановить путь, который прошел человек в своем развитии.
9. Находки, проливающие свет на происхождение собак, имеют возраст 8—10 тысяч лет...
10. Значит, собака пришла сюда вместе с человеком?..
11. Находка Савенкова произвела сенсацию...
12. КАК ЭТО МОГЛО СЛУЧИТЬСЯ!
13. Люди не очень опасались волков, волки же не очень боялись людей и нередко подходили к стоянкам первобытного человека достаточно близко.